Convexe polygonen. Definitie van een convexe polygoon. Diagonalen van een convexe veelhoek

Deze geometrische figuren omringen ons overal. Bolle veelhoeken zijn natuurlijk, bijvoorbeeld bijenranken of kunstmatig (gemaakt door mensen). Deze getallen worden gebruikt bij het produceren van verschillende soorten coatings in kunst, architectuur, ornamenten, etc. Convexe veelhoek hebben de eigenschap dat hun punten liggen aan één zijde van een rechte lijn die door het paar aangrenzende hoekpunten van de geometrische figuur passeert. Er zijn nog andere definities. Het genoemd de convexe veelhoek, die is aangebracht in een half-vlak ten opzichte van een willekeurige rechte lijn met één van zijn zijden.

Convexe polygonen

In de loop van de elementaire geometrie, altijdwe beschouwen alleen eenvoudige polygonen. Om alle eigenschappen van dergelijke geometrische figuren te begrijpen, is het noodzakelijk hun aard te begrijpen. Om te beginnen moet worden begrepen dat elke lijn waarvan de uiteinden samenvallen, gesloten wordt genoemd. En de figuur die erdoor wordt gevormd, kan verschillende configuraties hebben. Een polygoon is een eenvoudige gesloten veelhoekige lijn waarvan de aangrenzende schakels niet op dezelfde lijn liggen. De schakels en pieken zijn respectievelijk de zijkanten en hoekpunten van deze geometrische figuur. Een eenvoudige polylijn mag geen zelfkruisingen hebben.

De hoekpunten van een polygoon worden daarbij aangrenzend genoemdals ze de uiteinden van een van de zijkanten vertegenwoordigen. Een geometrische figuur met het n-de aantal hoekpunten, en dus het n-de aantal zijden, wordt een n-gon genoemd. De stippellijn zelf wordt de grens of contour van deze geometrische figuur genoemd. Een polygonale vlak- of vlakpolygoon wordt het eindige deel van een willekeurig vlak genoemd dat daardoor wordt begrensd. De aangrenzende zijden van deze geometrische figuur zijn de segmenten van een stippellijn die begint bij één hoekpunt. Ze zullen niet naburig zijn als ze afkomstig zijn van verschillende hoekpunten van de polygoon.

Andere definities van convexe polygonen

In elementaire geometrie zijn er verschillende meerequivalent in de betekenis van definities, waarmee wordt aangegeven welke polygoon convex wordt genoemd. En al deze formuleringen zijn even waar. Een convexe polygoon wordt beschouwd als:

• elk segment dat twee punten erin verbindt, ligt er volledig in;

• binnenin liggen alle diagonalen;

• elke interne hoek niet meer dan 180 ° bedraagt.

De veelhoek verdeelt het vlak altijd met 2part. Eén ervan is beperkt (deze kan in een cirkel worden ingesloten) en de andere is onbeperkt. De eerste wordt de binnenste regio genoemd en de tweede wordt de buitenste regio van deze geometrische figuur genoemd. Deze polygoon is de kruising (met andere woorden - de gemeenschappelijke component) van verschillende halve vlakken. In dit geval behoort elk segment dat uiteinden heeft op de punten die bij de polygoon horen er volledig toe.

Soorten convexe polygonen

De definitie van een convexe veelhoek geeft niet aanop het feit dat er veel soorten zijn. En elk van hen heeft bepaalde criteria. Aldus worden convexe polygonen, die een inwendige hoek gelijk aan 180 ° hebben, zwak convex genoemd. .. N moet gelijk zijn aan of groter is dan 3. Elk van de driehoeken convex: - vierhoek vijf - vijfhoek, etc. Elk van de convexe n-hoeken aan de volgende belangrijke eisen de convexe geometrische figuur die drie pieken heeft, wordt een driehoek, vier genoemd. De geometrische figuur van dit soort waarbij alle hoekpunten op een cirkel, genaamd de ingeschreven cirkel. Een convexe polygoon wordt beschreven als alle zijden in de buurt van de cirkel deze raken. Twee veelhoeken worden alleen als gelijk beschouwd als ze kunnen worden gecombineerd met behulp van een overlay. Platte veelhoek genoemd veelhoekig vlak (een vlak deel) dat deze beperkte geometrische figuur.

Regelmatige convexe polygonen

Juiste polygonen worden genoemdgeometrische figuren met gelijke hoeken en zijden. Binnen hen is er een punt 0, dat zich op dezelfde afstand van elk van zijn hoekpunten bevindt. Het wordt het centrum van deze geometrische figuur genoemd. De segmenten die het midden verbinden met de hoekpunten van deze geometrische figuur worden apophemes genoemd, en die welke het punt 0 met de zijkanten verbinden zijn stralen.

De rechter vierhoek is een vierkant. De rechter driehoek wordt gelijkzijdig genoemd. Voor dergelijke figuren bestaat de volgende regel: elke hoek van een convexe polygoon is 180 ° * (n-2) / n,

waarbij n het aantal hoekpunten is van deze convexe geometrische figuur.

Het gebied van een regelmatige polygoon wordt gedefinieerd door de formule:

S = p * h,

waarbij p gelijk is aan de helft van de som van alle zijden van een gegeven veelhoek en h gelijk is aan de lengte van het apophema.

Eigenschappen van convexe polygonen

Bolle polygonen hebben bepaalde eigenschappen. Dus, het segment dat twee willekeurige punten van zo'n geometrische figuur verbindt, bevindt zich er noodzakelijkerwijs in. proof:

Stel dat P een gegeven convex isveelhoek. Neem twee willekeurige punten, bijvoorbeeld A en B, die tot P In de huidige definitie van een convexe veelhoek, deze punten zich aan één zijde van de rechte lijn die elke richting R. Derhalve AB ook deze eigenschap en is in R. Een convexe veelhoek altijd bevat kan worden onderverdeeld in verschillende driehoeken absoluut alle diagonalen, die een van de hoekpunten bezit.

De hoeken van convexe geometrische figuren

De hoeken van een convexe polygoon zijn hoeken dieworden gevormd door zijn partijen. Binnenhoeken bevinden zich in het binnengebied van deze geometrische figuur. De hoek die wordt gevormd door de zijden die samenkomen bij een hoekpunt, wordt de hoek van de convexe veelhoek genoemd. Hoeken naast de binnenhoeken van een gegeven geometrische figuur worden extern genoemd. Elke hoek van een convexe polygoon die zich erin bevindt, is gelijk aan:

180 ° - x,

waarbij x de waarde is van de externe hoek. Deze eenvoudige formule is van toepassing op geometrische figuren van dit type.

In het algemene geval bestaat er voor externe hoekende volgende regel: elke hoek van een convexe veelhoek is gelijk aan het verschil tussen 180 ° en de waarde van de interne hoek. Het kan waarden hebben in het bereik van -180 ° tot 180 °. Daarom, wanneer de binnenhoek 120 ° is, is de buitenhoek 60 °.

De som van de hoeken van convexe polygonen

De som van de binnenhoeken van een convexe veelhoek wordt bepaald door de formule:

180 ° * (n-2),

waarbij n het aantal hoekpunten van het n-gon is.

De som van de hoeken van een convexe veelhoek wordt berekendgewoon. Overweeg een dergelijke geometrische figuur. Om de som van de hoeken binnen een convexe veelhoek te bepalen, moet een van de hoekpunten worden verbonden met andere hoekpunten. Als resultaat van deze actie verkrijgen we (n-2) driehoeken. Het is bekend dat de som van de hoeken van een willekeurige driehoek altijd 180 ° is. Omdat hun aantal in elke polygoon gelijk is aan (n-2), is de som van de interne hoeken van een dergelijke figuur 180 ° x (n-2).

De som van de hoeken van een convexe veelhoek, namelijkelke twee interne en aangrenzende uitwendige hoeken, deze convexe geometrische figuur zal altijd 180 ° zijn. Uitgaande hiervan is het mogelijk om de som van alle hoeken te bepalen:

180 х n.

De som van de interne hoeken is 180 ° * (n-2). Uitgaande hiervan wordt de som van alle externe hoeken van de gegeven figuur bepaald door de formule:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

De som van de buitenhoeken van een convexe veelhoek zal altijd 360 ° zijn (ongeacht het aantal zijden).

De buitenhoek van de convexe veelhoek wordt over het algemeen voorgesteld door een verschil tussen 180 ° en de waarde van de interne hoek.

Andere eigenschappen van een convexe polygoon

In aanvulling op de basiseigenschappen van deze geometrischefiguren, ze hebben anderen die ontstaan ​​wanneer ze worden gemanipuleerd. Aldus kan elk van de polygonen worden verdeeld in verschillende convexe n-gons. Hiervoor is het noodzakelijk om elk van zijn zijden voort te zetten en deze geometrische figuur langs deze rechte lijnen te snijden. Splits elke veelhoek in verschillende convexe delen en op een zodanige manier dat de hoekpunten van elk van de stukken samenvallen met al zijn hoekpunten. Vanuit deze geometrische figuur is het heel eenvoudig om driehoeken te maken door alle diagonalen van één hoekpunt vast te houden. Elke polygoon kan uiteindelijk worden verdeeld in een bepaald aantal driehoeken, wat zeer nuttig is bij het oplossen van verschillende problemen die met dergelijke geometrische figuren samenhangen.

Omtrek van een convexe veelhoek

De stukjes van de polylijn, de zijkanten genoemdveelhoek, meestal aangeduid met de volgende letters: ab, bc, cd, de, ea. Dit zijn de zijkanten van de geometrische figuur met de hoekpunten a, b, c, d, e. De som van de lengtes van alle zijden van deze convexe polygoon wordt de omtrek genoemd.

Cirkel van een veelhoek

Convexe polygonen kunnen worden ingeschreven enbeschreven. Een cirkel die alle kanten van deze geometrische figuur raakt, wordt erin gegraveerd. Zo'n veelhoek wordt beschreven. Het midden van de cirkel dat is ingeschreven in de veelhoek is het snijpunt van de bissectoren van alle hoeken binnen een gegeven geometrische figuur. Het oppervlak van een dergelijke polygoon is gelijk aan:

S = p * r,

waarbij r de straal van de ingeschreven cirkel is en p de semiperimeter van de gegeven veelhoek is.

Een cirkel met de hoekpunten van een veelhoek,geroepen beschreven in de buurt ervan. In dit geval wordt deze convexe geometrische figuur ingeschreven. Het middelpunt van de cirkel, dat wordt beschreven in de buurt van een dergelijke veelhoek, vertegenwoordigt het snijpunt van de zogenaamde middelste loodlijnen van alle kanten.

Diagonalen van convexe geometrische figuren

Diagonalen van een convexe polygoon zijn segmenten,die niet aangrenzende hoekpunten verbindt. Elk van hen ligt in deze geometrische figuur. Het aantal diagonalen van zo'n n-gon wordt bepaald door de formule:

N = n (n-3) / 2.

Het aantal diagonalen van een convexe polygoon speelteen belangrijke rol in elementaire geometrie. Het aantal driehoeken (K), waarin elke convexe veelhoek kan worden verdeeld, wordt berekend met de volgende formule:

K = n - 2.

Het aantal diagonalen van een convexe polygoon is altijd afhankelijk van het aantal hoekpunten.

Een convexe veelhoek splitsen

In sommige gevallen om geometrisch op te lossenhet is noodzakelijk om een ​​convexe veelhoek te splitsen in verschillende driehoeken met losse diagonalen. Dit probleem kan worden opgelost door een bepaalde formule af te leiden.

Definitie van het probleem: we noemen een bepaalde verdeling van een convex n-gon in verschillende driehoeken door diagonalen die alleen de hoekpunten van deze geometrische figuur kruisen.

oplossing: Stel dat P1, P2, P3 ..., Pn de hoekpunten zijn van dit n-Gon. Het nummer Xn is het nummer van de partities. We overwegen zorgvuldig de resulterende diagonaal van de geometrische figuur Pi Pn. In een van de reguliere partities behoort P1 Pn tot een bepaalde driehoek P1 Pi Pn, waarvoor 1 <i <n. Hieruit voortgaande en aannemende dat i = 2,3,4 ..., n-1, verkrijgen we (n-2) groepen van deze partities, waarin alle mogelijke speciale gevallen zijn opgenomen.

Laat i = 2 een groep regulier zijnpartities, altijd met diagonale P2 Pn. Het aantal partities die zijn opgenomen in, gelijk aan het aantal schotten (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Met andere woorden, het is gelijk aan Xn-1.

Als i = 3, dan is deze andere groep partitiesbevatten altijd een diagonale P3 P1 en P3 Pn. Het aantal correcte partities die zijn opgenomen in de groep, valt samen met het aantal verdelingen (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. Met andere woorden, zal het Xn-2.

Laat ik = 4, dan tussen de driehoeken de regulierede ontleding zal noodzakelijkerwijs een driehoek P1 P4 Pn bevatten waaraan de vierzijdige P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn zal grenzen. Het aantal correcte partities zulke vierhoekige X4 gelijk, en het aantal verdelingen (n-3) -gon gelijk Xn-3. Op basis van het voorgaande, kunnen we zeggen dat het totale aantal gewone partities die zijn opgenomen in deze groep is gelijk aan Xn-3 X4. Andere groepen, waarbij i = 4, 5, 6, 7 ... Xn zullen 4-X5 bevat, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 vaste scheidingswanden.

Laat i = n-2, het aantal juiste partities in een bepaalde groep zal samenvallen met het aantal partities in de groep, waarbij i = 2 (dat wil zeggen gelijk Xn-1).

Omdat X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., dan is het aantal van alle partities van een convexe veelhoek gelijk aan:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

bijvoorbeeld:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Het aantal reguliere partities dat één diagonaal kruist

Bij het controleren individuele gevallen, kan worden aangenomen dat het aantal diagonalen convexe n-gon gelijk is aan het produkt van alle partities van deze chartpatroon (n-3).

Bewijs van deze aanname: stel dat P1n = Xn * (n-3), terwijl geen n-gon kan worden verdeeld in (n-2) is een driehoek. In dit geval is één van hen kan worden gestapeld (n-3) -chetyrehugolnik. Op hetzelfde moment, elke vierhoek diagonaal. Aangezien dit convexe geometrische figuur twee diagonalen kan worden uitgevoerd, hetgeen betekent dat één (n-3) -chetyrehugolnikah additionele kan zorgen diagonale (n-3). Op basis hiervan kunnen we concluderen dat op enig juiste partitie heeft een kans om (n-3) -diagonali aan de eisen van deze taak.

Gebied van convexe polygonen

Vaak bij het oplossen van verschillende problemen, het elementairegeometrie, wordt het noodzakelijk om het gebied van een convexe veelhoek te bepalen. Stel dat (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n een reeks coördinaten is van alle naburige hoekpunten van een polygoon die geen zelfkruisingen heeft. In dit geval wordt het gebied berekend met de volgende formule:

S = 1 (Σ (X_ik + X_{i + 1}) (Y_ik + Y_{i + 1})),

waar (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).

</ p>