De bissectrice van de driehoek en zijn eigenschappen

Onder verschillende itemsmiddelbare school er is zoals "geometrie." Traditioneel wordt aangenomen dat de voorouders van deze systematische wetenschap de Grieken zijn. Tot op heden wordt de Griekse geometrie elementair genoemd, omdat zij het is die de eenvoudigste vormen begon te bestuderen: vlakken, rechte, regelmatige veelhoeken en driehoeken. Voor de laatste zullen we onze aandacht stoppen, of liever op de bissectrice van deze figuur. Voor degenen die het al zijn vergeten, is de bissectrice van de driehoek een deel van de bissectrice van een van de hoeken van de driehoek die het deelt in tweeën en verbindt de vertex met het punt aan de andere kant.

De bissectrice van een driehoek heeft een aantal eigenschappen die u moet kennen bij het oplossen van bepaalde problemen:

• De bissectrice van de hoek is een meetkundige plaats van punten die op gelijke afstand van de zijden naast de hoek zijn verwijderd.
• De bissectrice in de driehoek verdeelt het tegenovergesteldevanuit de hoek van de zijkant naar de segmenten, die evenredig zijn met de aangrenzende zijden. Er wordt bijvoorbeeld een driehoek MKB gegeven, waarbij vanuit de hoek K een bisectrix komt die de top van deze hoek verbindt met het punt A aan de andere kant MB. Als we deze eigenschap en onze driehoek analyseren, hebben we MA / AB = MK / KB.
• Het punt waarop de bisectoren van alle drie hoeken van een driehoek elkaar snijden, is het middelpunt van een cirkel die is ingeschreven in dezelfde driehoek.
• De basis van de bisectoren van een buitenste en twee binnenste hoeken liggen op dezelfde rechte lijn, op voorwaarde dat de bissectrice van de buitenste hoek niet evenwijdig loopt aan de andere kant van de driehoek.
• Als twee bissectrices van dezelfde driehoek gelijk zijn, dan is deze driehoek gelijkbenig.

Opgemerkt moet worden dat als drie bissectrices worden gegeven, het construeren van een driehoek over hen, zelfs met behulp van een kompas, onmogelijk is.

Heel vaak bij het oplossen van problemen de bissectricedriehoek is onbekend, maar het is noodzakelijk om de lengte ervan te bepalen. Om een ​​dergelijk probleem op te lossen, is het noodzakelijk om de hoek te kennen die de bissectrice in twee deelt, en de zijden die aan deze hoek grenzen. In dit geval wordt de gewenste lengte gedefinieerd als de verhouding van het verdubbelde product van de zijden en de cosinus van de hoek gedeeld door de helft tot de som van de zijden grenzend aan de hoek. Er wordt bijvoorbeeld dezelfde MKB-driehoek gegeven. De bissectrice strekt zich uit vanuit de hoek K en kruist de tegenovergestelde kant van de MB op het punt A. We geven de hoek aan waar vandaan de bisectrix vertrekt, y. Laten we nu alles opschrijven wat in woorden wordt gezegd in de vorm van een formule: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).

Als de waarde van de hoek van waaruit debissectrice van de driehoek, is onbekend, maar bekend bij alle zijden om de lengte van de bissectrice berekenen wij een extra variabele die we semiperimeter en aangeduid oproepen door de letter P gebruiken: P = 1/2 * (MK + KB + MB). maak dan een aantal wijzigingen in de bovenstaande formule, die wordt bepaald door de bissectrice van de lengte, namelijk in de teller ingesteld tweemaal de vierkantswortel van het product van de lengte van de zijden naast de hoek, met name semiperimeter wanneer semiperimeter afgetrokken van de lengte van de derde zijde. De noemer wordt onveranderd gelaten. In formulevorm wordt dit weergegeven als: KA = 2 * √ (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

De bissectrice in een rechthoekige driehoek heeftallemaal dezelfde eigenschappen als in het gewone, Maar behalve het al bekende is er ook een nieuw: de bissectoren van de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek vormen een hoek van 45 graden op de kruising. Indien nodig, is het gemakkelijk om te bewijzen met behulp van de eigenschappen van een driehoek en aangrenzende hoeken.

De bissectrice van een gelijkbenige driehoek samen metheeft verschillende eigenschappen gemeen. Laten we onthouden wat voor driehoek het is. In een dergelijke driehoek zijn de twee zijden gelijk en zijn de hoeken naast de basis gelijk. Vandaaruit volgt dat bisectors die afdalen naar de laterale zijden van een gelijkbenige driehoek gelijk zijn aan elkaar. Bovendien is de bissectrice, verlaagd naar de basis, zowel een hoogte als een mediaan.