Fraction. Vermenigvuldiging van fracties van gewoon, decimaal, gemengd

In de loop van middelbare en middelbare scholierengeslaagd voor het thema "Breuken". Dit concept is echter veel breder dan in het leerproces wordt gegeven. Tegenwoordig komt het concept van een breuk vaak voor, en niet iedereen kan een uitdrukking berekenen, bijvoorbeeld het vermenigvuldigen van breuken.

Wat is een breuk?

Dus historisch gezien fractionele cijfersverscheen vanwege de noodzaak om te meten. Zoals de praktijk laat zien, zijn er vaak voorbeelden van het bepalen van de lengte van een segment, het volume van een rechthoekig parallellepipedum, het gebied van een rechthoek.

In eerste instantie maken studenten er kennis meeconcept, als een aandeel. Als je bijvoorbeeld een watermeloen in 8 delen verdeelt, krijgt elke een een achtste watermeloen. Dit ene deel van de acht wordt het aandeel genoemd.

Een aandeel gelijk aan ½ van elke waarde wordt de helft genoemd; ⅓ - de derde; ¼ - een kwart. Records van het formulier ⁵/₈, ⁴/₅, ²/₄ worden gewone breuken genoemd. De gewone breuk is verdeeld in teller en noemer. Daartussen is een kenmerk van de breuk, of een fractionele lijn. Een fractionele lijn kan worden getekend als een horizontale of hellende lijn. In dit geval duidt dit het deelteken aan.

De noemer geeft aan hoeveel gelijke delen een hoeveelheid wordt gedeeld door een object; en de teller: het aantal identieke aandelen. De teller staat boven de breukstreep en de noemer staat eronder.

Het is het handigst om gewone breuken weer te gevencoördinatenstraal. Als een enkel segment is verdeeld in 4 gelijke delen, duidt u elk aandeel aan met een Latijnse letter, dan kunt u een uitstekend visueel hulpmiddel krijgen. Dus, punt A toont een fractie gelijk aan ¹/₄ van het hele eenheidinterval en punt B-markeringen ²/₈ van dit segment.

Variatie van breuken

Breuken zijn gewoon, decimaal en ook gemengde getallen. Bovendien kunnen breuken worden verdeeld in regelmatig en onregelmatig. Deze classificatie is meer geschikt voor gewone breuken.

Een correcte breuk is een getal waarvanDe teller is kleiner dan de noemer. Dienovereenkomstig is de onregelmatige breuk een getal waarvan de teller groter is dan de noemer. De tweede soort wordt meestal geschreven in de vorm van een gemengd nummer. Deze uitdrukking bestaat uit een geheel getal en een fractioneel deel. Bijvoorbeeld 1½. 1 - integer deel, ½ - fractioneel. Als u echter enige manipulatie met de expressie moet uitvoeren (de breuken verdelen of vermenigvuldigen, verkleinen of converteren), wordt het gemengde getal vertaald naar een onjuiste breuk.

De correcte fractionele expressie is altijd kleiner dan één en de onjuiste fractionele expressie is groter dan of gelijk aan 1.

Wat betreft decimalen, dituitdrukking betekent een record waarin elk getal wordt weergegeven, waarvan de noemer van een fractionele uitdrukking kan worden uitgedrukt in termen van een eenheid met verschillende nullen. Als de breuk correct is, is het gehele deel in de decimale notatie nul.

Als u een decimaal wilt opnemen, moet u eerstschrijf het hele stuk, scheid het van een fractioneel deel met een komma en schrijf vervolgens een fractionele uitdrukking. Er moet aan worden herinnerd dat de teller, na een komma, evenveel numerieke tekens moet bevatten als de nullen in de noemer.

voorbeeld. Presenteer een fractie van 7²¹/₁₀₀₀ in de decimale notatie.

Het algoritme voor het converteren van een onregelmatige breuk naar een gemengd getal en omgekeerd

Om de verkeerde fractie op te nemen in het antwoord van het probleem is onjuist, daarom moet het vertaald worden in een gemengd getal:

• om de teller te delen door de bestaande noemer;
• in een bepaald voorbeeld is een onvolledig quotiënt een geheel getal;
• en de rest is de teller van het fractionele deel en de noemer blijft ongewijzigd.

voorbeeld. Vertaal de verkeerde breuk in een gemengd getal: ⁴⁷/₅.

De oplossing. 47: 5. Een onvolledig quotiënt is gelijk aan 9, een rest = 2. Vandaar dat ⁴⁷/₅ = 9²/₅.

Soms is het nodig om een ​​gemengd getal als een onregelmatige breuk te presenteren. Dan moet je het volgende algoritme gebruiken:

• het geheel wordt vermenigvuldigd met de noemer van de fractionele uitdrukking;
• het resulterende product wordt toegevoegd aan de teller;
• het resultaat is geschreven in de teller, de noemer blijft ongewijzigd.

voorbeeld. Vertegenwoordig het getal in een gemengde vorm als een onregelmatige breuk: 9⁸/₁₀.

De oplossing. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 is de teller.

antwoord: ⁹⁸/_10.

Vermenigvuldiging van fracties van gewoon

Over veelvoorkomende breuken kan worden gedaanverschillende algebraïsche operaties. Om twee getallen te vermenigvuldigen, moet de teller worden vermenigvuldigd met de teller en de noemer met de noemer. En vermenigvuldiging van breuken met verschillende noemers verschilt niet van het product van fractionele getallen met dezelfde noemers.

Het gebeurt dat na het vinden van het resultaat dat je nodig hebtsnijd de breuk. Het is absoluut noodzakelijk om de resulterende expressie zo veel mogelijk te vereenvoudigen. Natuurlijk kunnen we niet zeggen dat de verkeerde fractie in het antwoord een fout is, maar het is ook moeilijk om er een correct antwoord op te geven.

voorbeeld. Zoek het product van twee gewone breuken: ½ en ²⁰/₁₈.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werd na het vinden van het product een reduceerbaar fractioneel record verkregen. Zowel de teller als de noemer zijn in dit geval gedeeld door 4, en het resultaat is het antwoord ⁵/₉.

Vermenigvuldiging van decimalen

Het product van decimale breuken verschilt behoorlijk van het product van gewone op zijn eigen manier. De vermenigvuldiging van breuken is dus als volgt:

• twee decimale breuken moeten onder elkaar worden geschreven, zodat de meest rechtse cijfers onder elkaar liggen;
• Het is noodzakelijk om de opgenomen nummers te vermenigvuldigen, ondanks komma's, dat wil zeggen als natuurlijke getallen;
• Bereken het aantal cijfers achter de komma in elk van de nummers;
• in het resulterende resultaat na vermenigvuldiging van het resultaat, is het noodzakelijk om zoveel numerieke symbolen te tellen als er in de som in beide factoren na de komma zijn, en plaats het scheidingsteken;
• als de getallen in het product kleiner waren, dan moet je voor hen zoveel nullen schrijven om dit getal te dekken, een komma plaatsen en het hele stuk gelijk aan nul toewijzen.

voorbeeld. Bereken het product van twee decimale breuken: 2,25 en 3,6.

De oplossing.

Vermenigvuldiging van gemengde fracties

Om het product van twee gemengde breuken te berekenen, moeten we de vermenigvuldigingsregel gebruiken:

• vertaal getallen in gemengde vorm naar onregelmatige breuken;
• vind het product van tellers;
• vind het product van noemers;
• noteer het resultaat;
• om de uitdrukking zo veel mogelijk te vereenvoudigen.

voorbeeld. Zoek het product 4 1 en 6²/_5.

Vermenigvuldiging van een getal met een breuk (breuken met een cijfer)

Naast het vinden van het product van twee breuken, gemengde getallen, zijn er banen waar het nodig is om het natuurlijke aantal te vermenigvuldigen met een breuk.

Om het product met een decimale breuk en een natuurlijk getal te vinden, hebt u het volgende nodig:

• schrijf het nummer onder de breuk zodat de meest rechtse cijfers boven elkaar staan;
• vind het product, ondanks de komma;
• in het resulterende resultaat, om het gehele deel te scheiden van fractioneel met een komma, waarbij het aantal cijfers achter de komma in de breuk wordt geteld.

Om een ​​gewone breuk met een getal te vermenigvuldigen, is het noodzakelijk om het product van de teller en de natuurlijke factor te vinden. Als het antwoord een reduceerbare breuk is, moet het worden geconverteerd.

voorbeeld. Bereken het product ⁵/₈ en 12.

De oplossing. ⁵/₈ * 12 = ^{(5 * 12)}/₈ = ⁶⁰/₈ = ³⁰/₄ = ¹⁵/₂ = 7¹/_2.

antwoord: 7¹/_2.

Zoals u in het vorige voorbeeld kunt zien, was het noodzakelijk om het resultaat in te korten en de onjuiste fractionele uitdrukking naar een gemengd getal om te zetten.

De vermenigvuldiging van breuken heeft ook betrekking op het vindenproduct van een getal in een gemengde vorm en een natuurlijke factor. Als u deze twee getallen wilt vermenigvuldigen, vermenigvuldigt u het volledige deel van de gemengde factor met het getal, vermenigvuldigt u de teller met dezelfde waarde en laat u de noemer ongewijzigd. Indien nodig moet het resultaat zo veel mogelijk worden vereenvoudigd.

voorbeeld. Zoek het product 9⁵/₆ en 9.

De oplossing. 9⁵/₆ x 9 = 9 x 9 + ^{(5 x 9)}/₆ = 81 + ⁴⁵/₆ = 81 + 7³/₆ = 88¹/_2.

antwoord: 88¹/_2.

Vermenigvuldiging met factoren van 10, 100, 1000 of 0,1; 0,01; 0001

De voorgaande regel impliceert het volgende. Als u een decimale breuk met 10, 100, 1000, 10000, etc. wilt vermenigvuldigen, verplaatst u de komma naar rechts met zoveel cijfers als er nullen in de vermenigvuldiger na één zijn.

Voorbeeld 1. Zoek het product van 0.065 en 1000.

De oplossing. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

antwoord: 65.

Voorbeeld 2. Zoek het product 3.9 en 1000.

De oplossing. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

antwoord: 3900.

Als het nodig is om het natuurlijke aantal te vermenigvuldigen met 0,1;0,01; 0.001; 0.0001, etc., moet je een komma naar links verplaatsen in het resulterende werk met evenveel cijfers als het aantal nullen er één is. Indien nodig worden nullen vóór het natuurlijke getal in voldoende hoeveelheid geschreven.

Voorbeeld 1. Zoek het product van 56 en 0.01.

De oplossing. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

antwoord: 0.56.

Voorbeeld 2. Zoek het product 4 en 0,001.

De oplossing. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

antwoord: 0.004.

Dus, het vinden van het product van verschillende breuken zou geen problemen moeten veroorzaken, behalve dat de berekening van het resultaat; in dit geval kun je niet zonder een rekenmachine.