Vergelijking - wat is het? Definitie van de term, voorbeelden

In de wiskunde van de school hoort het kind eerst de term 'vergelijking'. Wat is dit, laten we proberen samen uit te vogelen. In dit artikel zullen we de soorten en methoden van oplossing bekijken.

Wiskunde. vergelijking

Om te beginnen, stellen we voor dat je met jezelf omgaatconcept, wat is het? Zoals veel leerboeken van de wiskunde zeggen, is de vergelijking een aantal uitdrukkingen waartussen er noodzakelijkerwijs een gelijk teken is. In deze uitdrukkingen staan ​​letters, de zogenaamde variabelen, waarvan de betekenis moet worden gevonden.

Wat is een variabele? Het is een attribuut van een systeem dat de betekenis ervan verandert. Een duidelijk voorbeeld van variabelen zijn:

• luchttemperatuur;
• de groei van het kind;
• gewicht enzovoort.

In de wiskunde worden ze aangeduid met letters, bijvoorbeeldx, a, b, c ... Gewoonlijk klinkt de wiskundebaan als volgt: zoek de waarde van de vergelijking. Dit betekent dat u de waarde van deze variabelen moet vinden.

species

De vergelijking (die we in de vorige paragraaf hebben gedemonteerd) kan de volgende vorm hebben:

• lineaire;
• square;
• cubic;
• algebraïsche;
• transcendentale.

Voor een meer gedetailleerde kennismaking met alle soorten, zullen we elk afzonderlijk bekijken.

De lineaire vergelijking

Dit is de eerste soort die schoolkinderen leren kennen. Ze worden redelijk snel en eenvoudig opgelost. Dus de lineaire vergelijking, wat is het? Dit is een uitdrukking van de vorm: ax = c. Het is dus niet helemaal duidelijk, daarom zullen we enkele voorbeelden geven: 2х = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.

Laten we voorbeelden van vergelijkingen onderzoeken. Hiervoor moeten we alle bekende gegevens van de ene kant verzamelen, en onbekenden in de andere: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. Hier hebben we de elementaire regels van de wiskunde gebruikt: a * c = e, van deze c = e / a; a = e / c. Om de oplossing van de vergelijking te voltooien, voeren we één actie uit (in ons geval divisie) x = 13; x = 8; x = 5. Dit waren voorbeelden van vermenigvuldiging, kijk nu naar aftrekken en optellen: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. We zetten de bekende gegevens over naar één kant: x = 9-3; x = 20/10. We voeren de laatste actie uit: x = 6; x = 2.

Varianten van lineaire vergelijkingen zijn ook mogelijk, waarbijhet wordt gebruikt meer dan één variabele: 2х-2у = 4. Om dit op te lossen, is het noodzakelijk om 2y aan elk deel toe te voegen, we krijgen 2x2y + 2y = 4-2y, zoals we hebben gezien, aan de linkerkant van het teken -2y en + 2y annuleren, terwijl we hebben: 2x = 4 -2u. De laatste stap verdeelt elk deel in twee, we krijgen het antwoord: X is gelijk aan twee minus het spel.

Problemen met vergelijkingen worden zelfs inpapyri van Ahmes. Hier is een van de taken: het getal en het vierde deel geven een totaal van 15. Om het op te lossen, schrijven we de volgende vergelijking: x plus een vierde x is gelijk aan vijftien. We zien nog een voorbeeld van een lineaire vergelijking, op basis van de oplossing krijgen we het antwoord: x = 12. Maar dit probleem kan op een andere manier worden opgelost, namelijk de Egyptische of, zoals het op een andere manier wordt genoemd, de methode van veronderstelling. In papyrus wordt de volgende oplossing gebruikt: neem vier en een vierde deel ervan, dat wil zeggen één. Kortom, ze geven er vijf, nu moeten er vijftien in een som worden verdeeld, we krijgen er drie, de laatste actie drie vermenigvuldigd met vier. We krijgen het antwoord: 12. Waarom delen we met vijftien bij vijf in een beslissing? Dus we weten hoeveel keer vijftien, dat wil zeggen, het resultaat dat we moeten behalen, minder dan vijf. Dit was de manier om problemen in de Middeleeuwen op te lossen, hij werd de methode van onwaarheid genoemd.

Vierkante vergelijkingen

Naast de eerder besproken voorbeelden zijn er nog andere. Welke? Een kwadratische vergelijking, wat is dat? Ze hebben de vormbijl²+ bx + c = 0. Om ze op te lossen, moet je jezelf vertrouwd maken met bepaalde concepten en regels.

Eerst moeten we de discriminant vinden aan de hand van de formule: b²-4ac. Er zijn drie opties voor de uitkomst van de oplossing:

• de discriminant is groter dan nul;
• minder dan nul;
• is gelijk aan nul.

In de eerste variant kunnen we een antwoord krijgen van twee wortels, die worden gevonden door de formule: -b + -cres van de discriminant gedeeld door tweemaal de eerste coëfficiënt, dat is 2a.

In het tweede geval heeft de vergelijking geen wortels. In het derde geval wordt de wortel gevonden met de formule: -b / 2a.

Laten we een voorbeeld van een kwadratische vergelijking beschouwen als meergedetailleerde kennis: drie X kwadraat minus veertien X min vijf is nul. Om te beginnen, zoals hierboven geschreven, op zoek discriminant, in ons geval is het gelijk aan 256. Merk op dat de resulterende getal is groter dan nul, dus we moeten antwoord bestaat uit twee wortels te krijgen. Substituut verkregen in de discriminant formule voor het vinden van de wortels. Als gevolg daarvan, hebben we: X is gelijk aan de vijf en min één-derde.

Speciale gevallen in kwadratische vergelijkingen

Dit zijn voorbeelden waarbij sommige waarden nul (a, b of c) en mogelijk meerdere zijn.

Laten we bijvoorbeeld de volgende vergelijking nemen, welkeis vierkant: twee x in het vierkant is nul, hier zien we dat b en c nul zijn. Laten we proberen het op te lossen, hiervoor delen we beide delen van de vergelijking in twee, we hebben: x²= 0. Als gevolg hiervan krijgen we x = 0.

Nog een geval van 16x²-9 = 0. Hier alleen b = 0. We lossen de vergelijking op, verplaatsen de vrije coëfficiënt naar de rechterkant: 16x²= 9, nu delen we elk deel in zestien: x²= negen zestiende. Omdat we x in het vierkant hebben, kan de wortel van 9/16 negatief of positief zijn. Het antwoord is als volgt geschreven: X is gelijk aan plus / min drie kwart.

Een variant van het antwoord is mogelijk, omdat de wortelvergelijking dat niet doet. Laten we een voorbeeld bekijken: 5x²+ 80 = 0, hier b = 0. Om de vrije term op te lossen, gooi je hem naar de rechterkant, na deze acties krijgen we: 5x²= -80, deel nu elk deel in vijf delen: x²= min zestien. Als een willekeurig getal vierkant is, krijgen we geen negatieve waarde. Daarom is ons antwoord: de wortelvergelijking doet dat niet.

Ontleding van de trinominale

De taak van kwadratische vergelijkingen kan ook op een andere manier klinken: ontrafel de vierkante trinomiale tot vermenigvuldigers. Dit kan worden gedaan met behulp van de volgende formule: a (x-x₁) (x-x₂). Hiervoor is het, net als in een andere variant van de taak, nodig om een ​​discriminant te vinden.

Bekijk het volgende voorbeeld: 3x²-14x-5, ontrafel de trinomiaal in multipliers. We vinden de discriminant, gebruikmakend van de formule die we al kennen, deze wordt verkregen gelijk aan 256. We merken meteen op dat 256 groter is dan nul, daarom zal de vergelijking twee wortels hebben. We vinden ze, net als in de vorige paragraaf, we hebben: x = vijf en min één derde. We gebruiken de formule voor het uitbreiden van een trinomiaal naar multipliers: 3 (x-5) (x + 1/3). In de tweede schijf ontvingen we het gelijkteken, omdat er in de formule een minteken staat en de wortel ook negatief is, gebruikmakend van de elementaire kennis van de wiskunde, in de som hebben we een plusteken. Voor de eenvoud vermenigvuldigen we de eerste en derde term van de vergelijking om de breuk kwijt te raken: (x-5) (x + 1).

Vergelijkingen die teruglopen tot een kwadratisch niveau

In deze paragraaf zullen we leren om meer gecompliceerde vergelijkingen op te lossen. Laten we beginnen met een voorbeeld:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. We kunnen dubbele elementen zien: (x² - 2x), het is handig voor ons om het te vervangen doorandere variabele, en vervolgens het oplossen van de gewone vierkantsvergelijking, maar er rekening mee dat we in deze taak vier wortels te krijgen, moet je niet schrikken. de herhaling variabel en duiden. We krijgen een²-2a-3 = 0. Onze volgende stap is om de discriminant van de nieuwe vergelijking te vinden. We krijgen er 16, we vinden twee wortels: min één en drie. We herinneren ons dat we een vervanging hebben gedaan, we vervangen deze waarden, uiteindelijk hebben we de vergelijkingen: x² - 2x = -1; X² - 2x = 3. We lossen ze op in het eerste antwoord: x is gelijk aan één, in de tweede: x is gelijk aan min één en drie. We schrijven het antwoord als volgt: plus / minus één en drie. In de regel is het antwoord geschreven in oplopende volgorde.

Kubieke vergelijkingen

Laten we nog een mogelijke variant bekijken. We zullen kubieke vergelijkingen bespreken. Ze hebben de vorm: bijl ³ + b x ² + cx + d = 0. Voorbeelden van vergelijkingen zullen we hieronder bespreken, maar voor het begin een beetje theorie. Ze kunnen drie wortels hebben, omdat er een formule is voor het vinden van de discriminant voor een kubieke vergelijking.

Beschouw een voorbeeld: 3x³+ 4x²+ 2x = 0. Hoe het op te lossen? Om dit te doen, plaatsen we x tussen haakjes: x (3x²+ 4x + 2) = 0. Alles wat we moeten doen is de wortels van de vergelijking berekenen tussen haakjes. De discriminant van de kwadratische vergelijking tussen haakjes is minder dan nul, op basis hiervan heeft de uitdrukking een wortel: x = 0.

Algebra. vergelijking

We gaan naar de volgende vorm. We beschouwen nu kort algebraïsche vergelijkingen. Een van de taken klinkt als volgt: door de methode te groeperen in 3x-vermenigvuldigers⁴+ 2x³+ 8x²+ 2x + 5. De handigste manier is de volgende groepering: (3x⁴+ 3x²) + (2x³+ 2x) + (5x²5). We merken op dat Sx² vanaf de eerste expressie presenteerden we de som van 3x² en 5x². Nu verwijderen we uit elke haak de gemeenschappelijke factor 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²1). We zien dat we een gemeenschappelijke vermenigvuldiger hebben: x in een vierkant plus één, we halen het uit haakjes: (x²+1) (3x²+ 2x + 5). Verdere ontbinding is onmogelijk, omdat beide vergelijkingen een negatieve discriminant hebben.

Transcendentale vergelijkingen

We stellen voor om het volgende type te behandelen. Dit zijn vergelijkingen die transcendentale functies bevatten, namelijk logaritmisch, trigonometrisch of exponentieel. Voorbeelden: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3, enzovoort. Hoe ze zijn opgelost, leer je van de cursus trigonometrie.

functie

De laatste stap is om het concept van vergelijking te overwegen-functie. In tegenstelling tot eerdere versies is dit type niet opgelost en daarop is een grafiek gebouwd. Hiervoor wordt de vergelijking goed geanalyseerd om alle noodzakelijke punten voor de constructie te vinden, om de minimum- en maximumpunten te berekenen.